Wybrane zagadnienia analizy numerycznej

prof. Teresa Regińska, dr.Andrzej Wakulicz

Konspekt wykładu

Efektywne wykorzystanie modeli matematycznych stosowanych w różnych dziedzinach nauki i w technice wymaga na ogół znajomości elementów wiedzy właściwej dyscyplinom często odległym od siebie. Oprócz umiejętności interpretacji działania takiego modelu w języku rozpatrywanej teorii, ewentualnie praktyki, należy umieć posługiwać się matematyką leżącą u podstaw tego modelu, metodami numerycznymi a także programami komputerowymi pozwalającymi śledzić generowane przez model procesy.

Proponowany wykład jest spojrzeniem na wybrane zagadnienia metod numerycznych w świetle ich interdyscyplinarnych zastosowań. Rozpatrywane przez nas techniki numeryczne związane będą z

i)                    obliczeniami macierzowymi,

ii)                   metodami numerycznej aproksymacji funkcji i operatorów,

iii)                 rozwiązywaniem algebraicznych równań nieliniowych i  wyznaczaniem punktu     stałego         odwzorowań,

iv)                 ideami wykorzystywanymi do konstrukcji metod i algorytmów rozwiązywania równań różniczkowych.

Więcej szczegółów zawiera zamieszczony poniżej spis tematów wykładu. Porządek w jakim będą omawiane wymienione tam zagadnienia nie będzie w pełni odpowiadał kolejności w spisie. Ostateczny dobór materiału i sposób jego prezentacji będzie zależał od przygotowania matematycznego słuchaczy.

SPIS TEMATÓW

1.      Przestrzenie funkcyjne i problem skończenie wymiarowej aproksymacji funkcji; zadanie aproksymacji liniowej i jego rozwiązanie. ([2])

2.      Nieliniowa aproksymacja funkcji i metody jej wyznaczania; oszacowanie błędu. ([2])

3.      Zastosowanie splinów i falek do aproksymacji funkcji; aproksymacja elementem skończonym. ([1])

4.      Obliczenia macierzowe; analiza zaokrągleń dla eliminacji Gaussa i poprawianie dokładności.([4])

5.      Metody rozwiązywania specjalnych układów równań algebraicznych liniowych (macierze pasmowe, blokowo trójdiagonalne, Vandermonda, Toeplitza); polepszanie uwarunkowania. ([4])

6.      Algorytmy równoległe dla obliczeń macierzowych. ([4])

7.      Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań algebraicznych liniowych (standardowe iteracje, metody gradientu sprzężonego). ([4])

8.      Metoda najmniejszych kwadratów, także dla problemów z ograniczeniami. ([4])

9.      Metody rozwiązywania macierzowego zagadnienia własnego. ([4])

10.  Optymalne metody dla algebraicznych równań nieliniowych jednej zmiennej ([5])

11.  Wyznaczanie punktu stałego dla kontrakcji. ([5])

12.  Wyznaczanie punktu stałego dla funkcji nie będącej kontrakcją. ([5])

13.  Metoda elementu skończonego i jej praktyczne stosowanie do rozwiązywania równań eliptycznych. ([3])

14.  Metody rozwiązywania równań parabolicznych i hiperbolicznych; analiza stabilności algorytmów. ([3])

15.  Metody numerycznego rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych. ([3])

Literatura

1.      Carl de Boor, A practical guide to splines, Springer-Verlag (1978),

2.      Ronald A. De Vore, Nonlinear approximation, Acta Numerica Vol.7, pp.51-150 (1998),

3.      Ronald Glowinski, Numerical methods for nonlinear variational problems, Springer-Verlag (1984),

4.      G.H. Golub, Ch. F. Van Loan, Matrix computations, J. Hopkins Univ. Press (1990),

5.      K.A. Sikorski, Optimal solution of nonlinear equations, Oxford Univ. Press (2001).