Celem wykładu jest zapoznanie słuchaczy z elementami teorii procesów stochastycznych z podkreśleniem potencjalnych możliwości ich zastosowań.
W czasie wykładu słuchacze
poznają elementy analizy stochastycznej, teorii sterowania stochastycznego i
matematyki finansowej. Niektóre partie materiału będą przerabiane dokładnie,
inne zaś szkicowo przekazując słuchaczom intuicje.
Tematy przerabiane w trakcie
wykładu:
1. elementy teorii martyngałów: warunkowa wartość
oczekiwana, martyngał, momenty zatrzymania, nierówności martyngałowe,
twierdzenie o zbieżności;
2. procesy Markowa – sterowane procesy Markowa z
funkcjonałami:
a) o skończonym horyzoncie czasowym,
b) zdyskontowanym,
c) średni koszt na jednostkę czasu;
inne formy funkcjonałów;
sterowanie parkiem maszynowym;
3. problemy wyceny instrumentów finansowych w czasie
dyskretnym:
a) rynki zupełne i ich charakteryzacja,
b) maksymalizacja funkcji użyteczności, maksymalizacja
portfela,
c) wzory na ceny opcji,
d) zabezpieczenie kwantylowe,
4. Zagadnienie liniowo kwadratowe: sterowalność,
obserwowalność, różne funkcjonały;
5. Problemy sterowania z niepełną obserwacją: filtr
Kalmana Bucy, równania nieliniowej filtracji;
6. Ruch Browna, proces Poissona i proces Levy’ego,
7. Analiza stochastyczna w czasie ciąglym:
a) całka Ito,
b) wzór Ito – stochastyczne równanie różniczkowe,
c) twierdzenie o reprezentacji
d) zamiana miary,
8. Wzory Blacke’a Scholesa – wyprowadzenie (szkic),
9. Modele stopy procentowej (informacja).